Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 4 - 1 i \\ 4 - 2 i \\ 2 + 2 i \\ 3 - 3 i \end{array}]$

Paso 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 4 - 1 i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$\sqrt{{| 4 - i |}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.2

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{{\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{16 + 1}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.5

Suma $16$ y $1$ .

$\sqrt{{\sqrt{17}}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6

Reescribe ${\sqrt{17}}^{2}$ como $17$ .

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Paso 2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{17}$ como $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{17^{1} + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{17 + {| 4 - 2 i |}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.7

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{17 + {\sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{16 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.9

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{16 + 4}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.10

Suma $16$ y $4$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{20}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.11

Reescribe $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

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Paso 2.11.1

Factoriza $4$ de $20$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{4 (5)}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.11.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{17 + {\sqrt{2^{2} \cdot 5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.12

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{17 + {(2 \sqrt{5})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.13

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{17 + 2^{2} {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 4 {\sqrt{5}}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15

Reescribe ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

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Paso 2.15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5^{1} + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.15.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{17 + 4 \cdot 5 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.16

Multiplica $4$ por $5$ .

$\sqrt{17 + 20 + {| 2 + 2 i |}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.17

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{2^{2} + 2^{2}}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.18

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 + 2^{2}}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.19

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.20

Suma $4$ y $4$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{8}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.21

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.21.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.21.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + {\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.22

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{17 + 20 + {(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.23

Aplica la regla del producto a $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.24

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.25

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.25.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.25.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.25.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.25.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.25.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.25.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2^{1} + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.25.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{17 + 20 + 4 \cdot 2 + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.26

Multiplica $4$ por $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {| 3 - 3 i |}^{2}}$

Paso 2.27

Usa la fórmula $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ para obtener la magnitud.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{3^{2} + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.28

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}}^{2}}$

Paso 2.29

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 + 9}}^{2}}$

Paso 2.30

Suma $9$ y $9$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{18}}^{2}}$

Paso 2.31

Reescribe $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Paso 2.31.1

Factoriza $9$ de $18$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{9 (2)}}^{2}}$

Paso 2.31.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {\sqrt{3^{2} \cdot 2}}^{2}}$

Paso 2.32

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + {(3 \sqrt{2})}^{2}}$

Paso 2.33

Aplica la regla del producto a $3 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 3^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.34

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 {\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 2.35

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 2.35.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.35.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.35.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.35.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.35.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.35.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2^{1}}$

Paso 2.35.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 9 \cdot 2}$

Paso 2.36

Multiplica $9$ por $2$ .

$\sqrt{17 + 20 + 8 + 18}$

Paso 2.37

Suma $17$ y $20$ .

$\sqrt{37 + 8 + 18}$

Paso 2.38

Suma $37$ y $8$ .

$\sqrt{45 + 18}$

Paso 2.39

Suma $45$ y $18$ .

$\sqrt{63}$

Paso 2.40

Reescribe $63$ como $3^{2} \cdot 7$ .

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Paso 2.40.1

Factoriza $9$ de $63$ .

$\sqrt{9 (7)}$

Paso 2.40.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 7}$

Paso 2.41

Retira los términos de abajo del radical.

$3 \sqrt{7}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$3 \sqrt{7}$

Forma decimal:

$7.93725393 \dots$